Bilangan Bulat

Imam Ibnu Badri       SD/SMP/SMA    08.26

 A. Pengertian Bilangan Bulat

Struktur Bilangan

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif. Bilangan-bilangan yang lebih besar dari nol disebut bilangan positif dan bilangan-bilangan yang lebih kecil dai nol disebut bilangan negatif.
Perhatikan Gambar berikut:

Untuk diingat!

• Bilangan bulat positif letaknya disebelah kanan nol.
• Bilangan bulat negatif letaknya diseblah kiri nol.

 A. Membaca dan menulis Lambang bilangan Bulat

Perhatikan garis bilangan berikut!

 4 dibaca empat
 3 dibaca tiga
 2 dibaca dua
 1 dibaca satu
 0 dibaca nol
-1 dibaca negatif satu
-2 dibaca negatif dua
-3 dibaca negatif tiga
-4 dibaca negatif empat

 A. Menentukan Letak Bilangan BUlat Pada garis Bilangan

Dalam menentukan letak bilangan bulat, semakin ke kanan dari nol, maka nilainya semakin besar. Sedangkan semakin ke kiri dari nol, maka nilainya semakin kecil.

 A. Mengurutkan Bilangan Bulat

JIka suatu bilangan terletak di sebelah kanan bilangan lain, maka nilai bilangan itu lebih besar. Sebaliknya bila suatu bilangan terletak di sebelah kiri bilangan lain, maka nilai bilangan itu lebih kecil.

Contoh:

• 1. Urutkan bilangan 7, 14, –10, –21, –14 mulai dari yang terkecil!
  Jawab: Urutan mulai dari yang terkecil adalah –21, –14, –10, 7, 14. 104 
• 2. Urutkan bilangan –3, –10, 7, 3, 9, –1 mulai dari yang terbesar!
  Jawab: Urutan mulai dari yang terbesar adalah 14, 7, –10, –14, –21

 A. Membandingkan Dua Bilangan Bulat

Tanda yang digunakan untuk membandingkan dua bilangan bulat adalah:

• tanda “>” dibaca “lebih dari” atau “lebih besar”, 
• tanda “<” dibaca “kurang dari” atau “lebih kecil”, 
• tanda “=” di baca “sama dengan”. 

Dalam sistem bilangan bulat, berlaku:

1. Semakin ke kanan pada garis bilangan, bilangan semakin besar
   
   Contoh:
   ⇒ 5 lebih besar dari pada 3 ( 5 > 3)
   ⇒ 0 lebih besar dari –2 (0 > –2)
   ⇒ –3 lebih besar dari –5 ( –3 > –5)
   ⇒ 3 > 1 (3 di sebelah kanan 1)
   ⇒ –2 > –3 (–2 di sebelah kanan –3)
2. Semakin ke kiri pada garis bilangan, bilangan semakin kecil
   
   Contoh:
   ⇒ –4 lebih kecil dari pada 0 (–4 < 0)
   ⇒ –6 lebih kecil dari –3 (–6 < –3)
   ⇒ 4 < 5 (4 di sebelah kiri 5)
   ⇒ –6 < –5 (–6 di sebelah kiri –5)

 F. Menentukan Lawan Suatu Bilangan

Lawan dari bilangan positif adalah bilangan negatif. Jika suatu bilangan ditambah dengan lawannya, maka hasilnya adalah 0 (nol). Perhatikan garis bilangan berikut!

Contoh:
 1 lawannyan -1
 2 lawannyan -2
 -3 lawannyan 3
 -4 lawannyan 4
 dan seterusnya

 A. Sifat Pengerjaan Operasi Hitung

Masih ingatkah kalian tentang materi operasi hitung bilangan IV? Segarkan ingatan kalian degan memperhatikan hasil operasi bilangan-bilangan berikut.

a. 12 + 10 = 22
b. 10 + 12 = 22
c. 5 x 3 = 15
d. 3 x 5 = 15

Hasil operasi penjumlahan 12 + 10 sama dengan 10 + 12, yaitu 22. Begitu pula hasil operasi perkalian 5 x 3 sama dengan 3 x 5, yaitu 15. Artinya, pengerjaan operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi sifat  komutatif (pertukaran). Sifat komutatif merupakan sifat operasi hitung. Adakah sifat operasi hitung lainya ? pelajari uraian berikut

1. Sifat Komutatif pada Penjumlahan

---

Pada awal tahun ajaran baru, Andi mempunyai 5 buku tulis, sedangkan Ningrum mempunyai 3 buku tulis. Selang beberapa minggu, Andi membeli 3 buah buku ttlis lagi dan Ningrum membeli 5 buah buku tulis. Berapakah jumlah buku tlis mereka-masing-masing?

Mari kita hitung jumlah buku tulis Andi dan NIngrum seperti berikut.
Jumlah buku tulis Andi adalah 5 + 3 = 8,
Jumlah buku tlis Ningrum adalah 3 + 5 = 8
Ternyata, jumlah buku tulis mereka miliki sama bantak.
Perhatikan:
   3 + 5 = 5 + 3   

Sifat ini dinamakan Sifat Komutatif pada penjumlahan. Bentuk umum sifat komutatif pada penjumlahan adalah sebagai berikut.
   a + b = b + a   


2. Sifat Komutatif pada Perkalian

---

Sebuah toko alat tlis menjual dua jenis pensil. Dua jenis pensil tersebut dijual per paket. 1 paket pensil A berisi 5 buah pensil dan 1 paket pensil B berisi 6 buah pensil. Anto membeli 6 paket pensil A, sementara Citra membeli 5 paket pensil B. Berapakah jumlah pensil mereka masing-masing?

Di Kelas II kalian telah mempelajari konsep perkalian. Perkalian merupakan penjumlahan berulang.

 4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
 3 x 7 = 7 + 7 + 7 = 21

dengan demikian, kita peroleh hasil berikut.


Pensil Ant0 adalah 6 x 5 = 30
Pensil Citra adalah 5 x 6 = 30

Ternyata, jumlah pensil Anto dan Citra sama banyak.
Perhatikan:
   6 + 5 = 5 + 6   

Nah, sifat ini dinamakan sifat komutatif pada perkalian. Bentuk umum sifat komutatif pada perkalian adalah sebagai berikut.
   a x b = b x a   

Perlu diingat:
Sifat Komutatif (pertukaran) dapat terjadi pada:

• Penjumlahan
  a + b = b + a
• Perkalian
  a x b = b x a

3. Sifat Asosiatif pada Penjumlahan

---

Coba kalian perhatikan hasil penjumlahan bilangan berikut.

 (13 + 15) + 11 = 28 + 11 = 39
 13 + (15 + 11) = 13 + 26 = 39

Dari hasil penjumlahan bilangan diatas dapat disimpulkan bahwa:

 (13 + 15) + 11 = 13 + (15 + 11)

Bentuk operasi hitung yang demikian disebut sifat asosiatif penjumlahan. Sifat ini memiliki bentuk umum yang dapat diketahui dengan menyelesaikan kegiatan kelas berkut.

Kegiatan Kelas
 Lengkapi titi-titik dibawah ini.
 (10 + 32) + 23 = 10 + (32 + 23)
        (. . .) + 23 = 10 + (. . .)
                   . . . = . . .
 Jadi, (10 + 32) + 23 = 10 + (32 + 23)
 Dengan demikian, bentuk umum sifat Asosiatif adalah:
        (a + b) + c = a + (. . . + . . .)

4. Sifat Asosiatif pada Perkalian

---

Perhatikan hasil perkalian bilangan berikut.

 (4 + 5) + 7 = 20 + 7 = 140
 4 + (5 + 7) = 4 + 35 = 140

Berdasarkan hasil operasi perkalian di atas, dapat disimpulkan bahwa:

 (13 + 15) + 11 = 4 + (5 + 7)

Bentuk operasi hitung di atas disebut sifat asosiatif (pengelompokkn pada perkalian. Bentuk umum sifat asosiatif pada perkalian dapat dijelaskan dalam kegiatan kelas berikut.

Kegiatan Kelas
 Lengkapi titi-titik dibawah ini.
a. (7 x 5) x 2 = 7 x (5 x 2)
       . . . x 23 = 10 x . . .
               . . . = . . .
 Jadi, (7 x 5) x 2 = 7 x (5 x 2)

b. (19 x 12) x 14 = 19 x (12 x . . .)
              . . . x 14 = 19 x . . .
                      . . . = . . .
 Jadi, (19 x 12) x 14 = 19 x (12 x . . .)

 Jadi, bentuk umum sifat asosiatif pada perkalian adalah:
        (a x b) x c = a x (. . . x . . .)

Catatan:
Ingat, operasi hitung yang ada di dalam tanda kurung harus dikerjjakan terlebih dahulu.

Perlu diingat:
Sifat Asosiatif (pengelompokan) dapat terjadi pada:

• Penjumlahan
  (a + b) + c = a + ( b + c)
• Perkalian
  (a * b) * c = a * ( b * c)

5 Sifat Distributif Perkalian pada Penjumlahan

---

Di kelas IV kalian telah mempelajari tentang operasi hitung campuran. Masih ingat, bukan? coba perhatikan hasil operasi hitung campuran berikut.

 (4 + 5) x 7 = 9 x 7 = 63
 (4 x 7) + (5 x 7) = 28 + 35 = 63

Nah, dari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa:

 (4 + 5) x 7 = (4 x 7) + (5 x 7)

Operasi hitung yang demikian dinamakan sifat distributif perkalian pada penjumlahan. Bentuk umum sifat distributif perkalian pada penjumlahan adalah sebagai berikut
   a x (b + c) = (a x b) + (a x c)   
  (a + b) x c) = (a x c) + (b x c)   



6. Sifat Distribubtif Perkalian pada Operasi Pengurangan

---

Kalian telah mempelajari sifat distributif pada operasi penjumlahan. Selanjutnya, perhatikan hasil operasi hitung campuran berikut.

 (10 - 4) x 7 = 6 x 7 = 42
 (10 x 7) - (4 x 7) = 70 - 28 = 42

Dari hasil perhitungan tersebut, dapat disimpulkan bahwa:

 (10 - 4) x 7 = (10 x 7) - (4 x 7)

Nah, bentuk operasi hitung demikian dinamakan sebagai sifat distributif perkalian pada pengurangan.

Sifat distributif perkalian pada operasi pengurangan memili bentuk umum sebagai berkut.

   a x (b - c) = (a x b) - (a x c)   
  (a - b) x c) = (a x c) - (b x c)   

Contoh: 
 8 x (24 - 4) = . . .
 Penyelesaian:
 Cara I:
 8 x (24 - 4) = 8 x 20
                    = 160

 Cara II:
  8 x (24 - 4) = (8 x 24) - (8 x 4)
                    = 192 - 32
                    = 160

 Jadi, 8 x (24 - 4) = 160

 A. Pembulatan Bilangan ke Satuuan, Puluhan, Ratusan, atau Ribuan Terdekat

Masih ingatkah kalian tentang pemulatan bilangan? Di kelas IV kalian telah mempelajari materi tersebubt. Nah, pada subbab berikut kita akan mempelajari kembali.

1. Pembulatan ke Satuan terdekat

---

Pembulatan bilangan ke satuan terdekat memiliki beberapa aturan sebaai berkut.

• Jika angka persepuluhan kurang dari 5 maka dihilangkan.
• Jika angka persepuluhan lebih besar atau sama dengan 5 maka angka dibulatkan menjadi 1 satuan

Contoh:
1. 5,4 dibulatkan ke satuan terdekat  menjadi 5.
2. 1,901 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 2.
3. 8,503 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 9.
4. 9,432 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 9.

2. Pembulatan ke Puluhan terdekat

---

Aturan pembulatan bilangan ke puluhan terdekat adalah sebagai berkut.

• Jika angka satuan kurang dari 5 maka dihilangkan.
• Jika angka satuan lebih besar atau sama dengan 5 maka angka dibulatkan menjadi 1 puluhan.

Contoh:
1. 44 dibulatkan ke puluhan terdekat  menjadi 40.
2. 104 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 100.
3. 25 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 30.
4. 48 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 50.

3. Pembulatan ke Ratusan terdekat

---

Aturan pembulatan bilangan ke ratusan terdekat yakni sebagai berkut.

• Jika angka puluhan kurang dari 5 maka dihilangkan.
• Jika angka puluhan lebih besar atau sama dengan 5 maka angka dibulatkan menjadi 1 ratusan

Contoh:
1. 349 dibulatkan ke ratusan terdekat  menjadi 300.
2. 678 dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi 700.
3. 844 dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi 800.
4. 854 dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi 900.

4. Pembulatan ke Ribuan terdekat

---

Aturan pembulatan bilangan ke ribuan terdekat adalah sebagai berkut.

• Jika angka ratusan kurang dari 5 maka dihilangkan.
• Jika angka ratusan lebih besar atau sama dengan 5 maka angka dibulatkan menjadi 1 ribuan

Contoh:
1. 2.499 dibulatkan ke ribuan terdekat  menjadi 2000.
2. 4.501 dibulatkan ke ribuan terdekat menjadi 5000.
3. 8.989 dibulatkan ke ribuan terdekat menjadi 9000.

 A. Menaksir Hasil Operasi Hitung

Pada ulang tahun kali ini, Ria berencana membelika kue donat untuk teman sekelasnya. Ria berdiskusi dengan ayah dan ibunta mengenai rencana tersebut.
Ria: " Bu, minggu depan aku reulang tahun. Sebagai rasa syukur, aku ingin membeli kue donat untuk teman-teman sekelas. Bagaimana, Bu?".
Ibu: "Bagus. Berapa jumlah teman sekelasmu?
Ria: "43 orang"
Ayah: "Berapa harga satu kue donat?"
Ria: " Harganya Rp 675,00."
Ibu: " Baiklah, nanti Ibu beri kira-kira Rp 25.000,00 saja ya!"
Ayah: "Tapi, menurut Aya, Ibu kira-kira harus memberi Ria uang Rp.30.000,00."

Siapakah yang memiliki perkiraan paling baik?
Perkiraan yang paling baik disebut taksiran terbaik. Maksudnya, taksiran yang paling dekat dengan hasil operasi hitung sebenarnya. SElain itu, terdapat pula taksiran rendah dan taksiran tinggi. COba perhatikan contoh berikut.

Contoh:
1. Berapakah Taksiran dari 159 - 92?

• Taksiran tinggi
  159 dibulatkan ke atas menjadi 160
  92 dibulatkan ke atas menjadi 100.
  Talsoram tinggi dari 159 - 92 adalah 160 - 100 = 60.
• Taksiran rendah
  159 dibulatkan ke bawah menjadi 150.
  92 dibulatkan ke bahwa menjadi 90.
  Taksiran rendah dari 159 - 92 adalah 150 - 90 = 60
• Taksiran terbaik
  159 dibublatkan ke atas menjadi 160
  92 dibulatkan ke bawah menjadi 90
  Taksiran terbaik dari 159 - 92 adalah 160 - 90 = 70

2. Berapakah taksiran ratusan terdekat dari 320 x 175?
Penyelesaian:
Taksiran rendah dari 320 x 175 ≈ 300 x 100 = 30.000.
Taksiran tinggi dari 320 x 175 ≈ 400 x 200 = 80.000.
Taksiran terbaik dari 320 x 175 ≈ 300 x 200 = 60.000.

Catatan: "≈" dibaca "mendekati". 

Sekarang, mari kita hitung taksiran terbaik pada permasalahan Ria di depan. Ada 43 anak yang akan diberi donat seharga Rp675,00 per buah. 43 dibulatkan menjadi 40, sedangkan Rp675,00 dibulatkan menjadi Rp700,00. Taksiran uang yang harus dibayar = 40 x Rp700,00 = Rp28.000,00. Jadi, perkiraan terbaik adalah perkiraan ayah karena mendekati taksiran terbaik.

 A. Membaca dan Menulis Lambang Bilangan Bulat

Perhatikan angka-angka yang tertera pada termometer di atas. Kalian akan menemukan angka-angka -10, -5, 0, 5, 10, dan lain sebagainya. Bagaimana cara kalian membaca angka-angka tersebut dengan tepat?

Bilangan bulat terdiri atas bilangan negatif, nol dan bilangan positif.

• Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan negatif
  Contoh: -1, -2, -3, -4, . . .
• Semua bilangan di sebelah kanan nol adalah bilangan positif.
  Conoth: 1, 2, 3, 4, 5, . . .

Perhatikan cara membaca dan menulis beberapa bilangan bulat berikut.

 -2 dibaca negatif dua   

 -7 dibaca negatif tujuh

 -11 dibacah negatif sebelas

 0 dibaca nol

 13 dibaca tiga belas   

 Negatif tiga puluh ditulis - 30

 Negatif delapan ditulis -8

 Negatif Lima belas ditulis -15

 Dua puluh satu ditulis 21
 Dua puluh delapan ditulis 28

 A. Operasi Hitung Bilangan Bulat

Es akan tetap pada wujud bila berada suhu -8 ^oC. Bila suhu dinaikkan sebesar 43 ^oC , es akan mencair. Dapatkan kalian menghitung suhu es setelah mencair?

Permasalahan ini dapat dijawab dengan mempelajari materi operasi hitung bilangan bulat. Coba kalian pahami uraian berikut.



1 Penjumlahan BIlangan Bulat

---

Penjumlahan pada bilangan bulat dapat diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan. Pada garis bilangan telah disepakati bahwa arah bilangan bulat positif ke kanan dan arah bilangan bulat negatif ke kiri. Agar lebih jelas perhatikan contoh berikut ini:

Contoh:
1.  Hitunglah penjumlahan:
     a. 4 dan 5                                 b. 5 dan (-2)
     Penyelesaian:

• a. Dari nol sebagai titik pangkal, kita melangkah 4 satuan ke kanan, dilanjutkan dengan 5 satuan ke kanan. Hasil penjumlahannya adalah jarak dari titik nol ke posisi terakhir, yaitu 9.
  
• Dari titik nol kita melangkah 5 satuan ke kanan, kemudian melangkah 2 satuan ke kiri. Hasil penjumlahannya adalah 3.
  
  Jadi, 5 + (–2) = 3

2. Hitunglah penjumlahan –3 dan –4:

     Penyelesaian:

• 
  Jadi, (–3) + (–4) = –7.

Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:
1). Sifat tertutup 
Perhatikan contoh di bawah ini:

• a. 2 + 9 = 1 ➔ 2 dan 9 adalah bilangan bulat.
  Hasil penjumlahannya 11, juga bilangan bulat. 
• b. (–11) + (–9) = –20 ➔ –11 dan –9 adalah bilangan bulat
  Hasil penjumlahannya –20, juga bilangan bulat. 
• c. –12 + 25 = 13 ➔ –12 dan 25 adalah bilangan bulat.
  Hasil penjumlahannya 13, juga bilangan bulat. 

Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa penjumlahan dua buah bilangan bulat atau lebih akan selalu menghasilkan bilangan bulat juga.




2). Sifat komutatif (pertukaran) 
Perhatikan beberapa contoh berikut:

• a. 5 + 7 = 12
      7 + 5 = 12
      Jadi, 5 + 7 = 7 + 5 
• b. 10 + (–5) = 5
       (–5) + 10 = 5
      Jadi, 10 + (–5) = (–5) + 10 
• c. –4 + (–5) = –9
     (–5) + (–4) = –9
      Jadi, –4 + (–5) = –5 + (–4) 

Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa

Sifat ini disebut komutatif (pertukaran) terhadap penjumlahan bilangan bulat.




3). Sifat asosiatif (pengelompokan) terhadap penjumlahan bilangan bulat. 
Perhatikan contoh-contoh berikut ini:

• a. (–5 + 7) + 8 = 2 + 8 = 10
      –5 + (7 + 8) = –5 + 15 = 10
       Jadi, (–5 + 7) + 8 = –5 + (7 + 8) 
• b. {7 + (–2)} + 6 = 5 + 6 = 11
        7 + {(–2) + 6} = 7 + 4 = 11
        Jadi, {7 + (–2)} + 6 = 7 + {(–2) + 6} 
• c. {–3 + (–6)} + (–5) = –9 + (–5) = –14
       –3 + {(–6)} + (–5) = –3 + {(–6) + (–5)}
       Jadi, {–3 + –6)} + (–5) = –3 + {(–6) + (–5)} 

Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa

Sifat ini disebut asosiatif terhadap penjumlahan bilangan bulat.



4). Unsur identitas penjumlahan 
Perhatikan contoh-contoh berikut:

• a. 2 + 0 = 2
• b. 5 + 0 = 5 
• c. –10 + 0 = –10 
• d. 0 + 2 = 2

Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa penjumlahan suatu bilangan dengan nol atau sebaliknya akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Nol disebut unsur identitas penjumlahan.




5). Invers/lawan
 Setiap bilangan bulat mempunyai invers atau lawan. Lawan dari suatu bulangan bulat adalah bilangan bulat lain yang letaknya pada garis bilangan berjarak sama dari titik nol, tetapi arahnya berlawanan dengan bilangan bulat semula.

Contoh:
Tulislah lawan dari 5.
Penyelesaian:

Kita cari bilangan lain yang berjarak sama dari 0, tetapi arahnya berlawanan dengan 5. Bilangan itu adalah –5. Jadi, invers (lawan) dari 5 adalah –5. Secara umum dituliskan:

2. Pengurangan Bilangan Bulat

---

Keluarga Pak Hardi Sedang berkemah di puncah. Pada siang hari, termometer menunjukkan suhu 10 ^oC.. Ketika malam hari suhu turun sebesar 12^oC. . Berapakah suhu udara pada waktu malam hari?

Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakakanoperasi pengurangan pada bilangan bualt. Sebelum masalah tersebut diselesaikan, terlebih dahulu kalian pahami "Lawan suatu bilangan".

Coba perhatikan garis bialngan berikut.


Bilangan-bilangan di sebelah kanan nol adalah lawan dari bilangan-bilangan di sebelah kiri nol atau sebaliknya. Contoh lawan suatu bilangan adalah sebagai berikut.

 3 lawan dari -3
 -5 lawan dari 5

Selanjutnya, coba pahami cara mengerjakan operasi penguranganpada bilangan bulat melalui kegiatan berikut.

Kegiatan Kelas:
Isilah titik-titik dengan memerhatikan pola bilangan sebelumnnya.

 6 - 3 = 3
 6 - 3 = 3
 6 - 3 = 3
 6 - 3 = 3
 6 - (-3) = . . .
 6 - (-3) = . . .
 6 - (-3) = . . .
 6 - (-3) = . . .
 6 + (-3) = . . .
 6 + (-3) = . . .
 6 + (-3) = . . .
 6 + (-3) = . . .
 6 + 3 = . . .
 6 + 3 = . . .
 6 + 3 = . . .
 6 + 3 = . . .

Perhatikan kembbali hasil ruas kiri dan ruas kanan dari operasi di atas
 6 - 3 = 6 + (-3)
 6 - (-3) = 6 +3
 6 - (-3) = 6 +3
 6 - 3 = 6 + (-3)
 dst.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa pengurangan dua bilangan sama dengan menjumlahakan dengan lawan bilangan pengurangan.

    a - b = a + (-b)   
    a - (-b) = a + b     

Nah, tentu kalian dapat menyelesaikan permasalah di depan, bukan?
Suhu es ketika mencair adalah -8 ^oC + 43 ^oC.= 43 ^oC. - 8 ^oC. = 32 ^oC..
Suhu udara pada malam hari adalah 10 ^oC. - 12 ^oC. = 2 ^oC..


3. Perkalian Bilangan Bulat

---

Suhu udara di daerah yang bersalju sering mengalmi penurunan. Penurunan suhu terjadi pada 17.00 - 24.00. Pada pukul 17.00, suhu udara sekitar 10 ^oC. Jika suhu udara turan 2 ^oC tiap jam, berapakah suhu udara di daerah itu pada pukul 24.00?

Persoalan di atas dapat diselesaikan dengan memahami perkalian bilangan bulat. Bagaimana caranya? Coba lakukan kegiatan berikut.



Nah, sekarang mari kita selesaikan permasalah didepan.
Suhu udara pada pukul 17.00 10 ^oC.
Selesih antara pukul 24.00 dan pukul 17.00 = 7 jam.
Jika terjadi penurunan suhu sebesar 2 ^oC tiap jam maka suhu di daerah tersebut turun sebesar 2 x 7 = 14 ^oC.
Jadi, suhu di daerah tersebut pada pukul 24. 00 adalah 10 ^oC - 14 ^oC = -4 ^oC.

a. Perkalian Bilangan Bulat Positif dan Negatif 
Perhatikanlah contoh-contoh berikut ini:

1. 1 x (–5) = –5
2. 2 x (–5) = –10
3. 3 x (–5) = –15
4. 4 x (–5) = –20
5. 5 x (–5) = –25 

Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.




b. Perkalian Dua Bilangan Bulat Negatif 
Perhatikanlah contoh-contoh berikut ini:

1. 3 x (–3) = –9
2. 2 x (–3) = –6
3. 1 x (–3) = –3
4. 0 x (–3) = 0
5. –1 x (–3) = 3
6. –2 x (–3) = 6 
7. –3 x (–3) = 9

 Dari contoh 5, 6, dan 7 di atas hasil kali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.



c. Perkalian Bilangan Bulat dengan Nol (0) 
Perhatikan perkalian berikut ini!

1. 5 x 0 = 0
2. –3 x 0 = 0
3. 0 x 2 = 0

 Untuk semua bilangan apabila dikalikan dengan nol (0) hasilnya adalah nol.


d. Unsur Identitas pada Perkalian 
Semua bilangan bulat bila dikalikan dengan 1 atau sebaliknya, akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Dalam hal ini 1 disebut unsur identitas pada perkalian. Misalnya:

1. 10 x 1 = 10
2. 5 x 1 = 5
3. –5 x 1 = –5
4. –3 x 1 = –3

e. Sifat-Sifat Perkalian 
1). Tertutup
Misalnya:

• 2 x 5 = 10, 2 dan 5 bilangan bulat, hasil kalinya 10 juga bilangan bulat. 
• –5 x 7 = –35, –5 dan 7 bilangan bulat, hasil kalinya –35 juga bilangan bulat.

 Jadi, dapat disimpulkan bahwa perkalian dua buah bilangan bulat atau lebih bersifat tertutup dan dirumuskan dengan:



2). Komutatif (Pertukaran)
Perhatikan operasi perkalian berikut ini:

  

Secara umum dituliskan



3). Asosiatif (Pengelompokkan)
Perhatikanlah contoh-contoh di bawah ini!

a. {6 x (–5)} x (–2) = –30 x (–2) = 60
b. 6 x {–5 x (–2)} = 6 x 10 = 60
Jadi, {6 x (–5)} x (–2) = 6 x {–5 u (–2)} 

Maka kesimpulannya adalah:



4). Distributif
Perhatikanlah contoh-contoh berikut ini!

a. 5 x (6 – 2) = 5 x 4 = 20
b. 5 x (6 – 2) = (5 x 6) – (5 x 2) = 30 – 10 = 20
c. 5 x (6 + 2) = 5 x 8 = 40
d. 5 x (6 + 2) = (5 x 6) + (5 x 2) = 30 + 10 = 40

 Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa perkalian bilangan bulat mempunyai sifat distributif, sehingga dapat dirumuskan:




















4 Pembagian Bilangan Bulat

---

Ingatkah kalian materi operasi pembagian di kelas IV? pada materi tersebut dijelaskan bahwa operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:

• Pembagian dua bilangan bertanda beda akan menghasilkan bilangan negatif.
• Pembagian dua bilangan sama akan menghasilkan bilangan positif.

Misalkan ditentukan p x 8 = 48. Untuk mencari nilai p dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:

• a. Cara perkalian, yaitu dengan mencari suatu bilangan yang jika dikalikan dengan 8 hasilnya 48 di mana bilangan itu adalah 6. 
• b. Cara pembagian, yaitu dengan membagi 48 dengan 8, yang hasilnya adalah 6. 

Dengan demikian, membagi 48 dengan 8 sama artinya dengan mencari suatu bilangan yang jika dikalikan dengan 8 hasilnya sama dengan 48 yang berarti 48 : 8 = 6 ⟺ 6 x 8 = 48.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa: pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian, secara umum dapat dituliskan:

Bentuk a : b dapat juga ditulis: 

Contoh:
1. 30 : 5 = 6 sebab 5 x 6 = 30
2. 16 : (–4) = –4 sebab –4 x (–4) = 16
3. –10 : 5 = –2 sebab 5 x (–2) = –10
4. –8 : (–2) = 4 sebab –2 x 4 = –8

Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa:

1. hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif, 
2. hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif, 
3. hasil bagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif atau sebaliknya adalah biangan negatif.

a. Pembagian Bilangan Bulat dengan Nol (0). 
Misalkan 5 : 0 = p ⇔ 0 x p = 5
Tidak ada satu pun pengganti p pada bilangan bulat yang memenuhi 0 x p = 5, sehingga dapat disimpulkan bahwa:


b. Pembagian Bilangan Bulat oleh Nol (0). 
Untuk pembagian 0 : 3 = n, adakah pengganti n yang memenuhi? Perhatikan uraian berikut:
0 : 3 = n ⇔ 3 x n = 0
Pengganti n yang memenuhi 3 x n = 0, adalah 0.
Jadi, kesimpulannya adalah






5. Operasi Campuran Bilangan Bulat

---

Kalian telah mengetahui cara melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Nah, sekarang kalian akan mempelajari kembali materi tentang operasi hitung campuran. Ingatkah kalian tentang cara melakukan operasi hitung campuran? Perhatikan contoh berikut.





6. Perpangkatan dan Akar

---

Pak sarwoko mempunyai pekarangan seluas 100 m². Di atas pekarangan itu akan dibuat kolam ikan bervolume 150 m³.

Tahuka kalian maksud angka 2 dan 3 pada penulisan m² dan m³ ? Untuk mengetahuinya, pelajari materi berikut.

a. Perpangkatan sebagai perkalian berulang
Bentuk perpangkatan pada suatu bilangan merupakan perkalian berulang dari bilangan tersebut. Untuk mengetahuinya perhatikan contoh berikut.

 22 = 2 x 2
 62 = 6 x 6
 103 = 10 x 10 x 10
 85 = 8 x 8 x 8 x 8 x 8
 96 = 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9

Dengan demikian, maksud angka 2 dan 3 pada penulisan m² dan m³ adalah:

 m2 = m x m
 m3 = m x m x m
 m = meter (satuan panjang)

Dari contoh diatas, terdapat bilangan berpangkat dua, Contohnya, 9² dan 6². Bilangan hasil dua dinamakan bilangan kuadrat.


b. Penarikan Akar Pangkat Dua
Akar pangkat dua atau akar kuadrat dilambangkan dengan √ .Akar kuadrat dari suatu bilangan adalah suatu bilangan yang bila dipangkatkan dua menghasilkan bilangan yang dicari nilai akarnya.



c. Cara penarikan Akar Kuadrat
Untuk mengetahui cara menentukan akar kuadrat dari suatu bilangan, perhatikan contoh berikut.




d. Menentukan Akar kuadrat Bilangan yang terletak di antara dua Bilangan dengan Taksiran




e. Menyelesaikan Masalah yang berkatian dengan Akar Pangkat Dua dan Kuadrat.
Banyak Permasalah keseharian yang melibatkan akar pangkat dua dan kuadrat. Perhatikan Contoh berikut.

 A. KUADRAT DAN AKAR KUADRAT SUATU BILANGAN BULAT

1. Kuadrat Bilangan Bulat

---

Kuadrat bilangan bulat adalah suatu bilangan yang diperoleh dari hasil perkalian suatu
bilangan bulat dengan dirinya sendiri sebanyak 2 kali.



Nilai kuadrat suatu bilangan bulat dapat diperoleh dengan cara menghitung, dengan
menggunakan kalkulator, dan dengan menggunakan tabel kuadrat.


2. Akar Kuadrat Suatu Bilangan Bulat

---

Kalian telah mengetahui bahwa 5² = 25, artinya bilangan 25 diperoleh dari 5 dipangkatkan
2 atau 5 dikuadratkan. Pertanyaannya adalah bagaimana cara menentukan bilangan 5 dari
25?. Caranya adalah dengan melakukan operasi akar kuadrat dari 25 yang dituliskan dengan
25 (dibaca akar kuadrat dari 25 atau akar pangkat dua dari 25). Penulisan cukup ditulis
dengan lambang "".
Perhatikanlah contoh-contoh berikut ini:
4² = 16 ⇔  = 4
6² = 36 ⇔ = 6
9² = 81 ⇔  = 9
7² = 49 ⇔  = 7
Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa operasi akar kuadrat merupakan
kebalikan dari operasi kuadrat.

Perhatikanlah soal berikut:
Diketahui a² = 25, dalam hal ini nilai a yang memenuhi adalah 5 dan –5, karena 5² = 25 dan
(-5)² juga = 25. Jika a = maka nilai a = 8, sedangkan –8 bukan merupakan jawaban.

Demikian juga dengan:
x² = 4, maka x = 2 atau x = –2, tetapi = 2
x² = 36, maka x = 6 atau x = –6, tetapi = 6

Secara umum dapat disimpulkan bahwa:



3. Menentukan Akar Kuadrat suatu Bilangan

---

Untuk menentukan nilai kuadrat suatu bilangan bulat dapat dilakukan dengan beberapa
cara, yaitu cara menghitung langsung menggunakan kalkulator, tabel akar kuadrat, dan penaksiran.

a. Menghitung Langsung
Perhatikanlah contoh-contoh berikut.

b. Menggunakan Kalkulator
Untuk menentukan akar dari suatu bilangan dengan kalkulator ikutilah petunjuk berikut:
1. Hidupkan kalkulator Anda dengan menekan ON atau AC.
2. Tekan tombol bilangan yang akan dicari nilai akar kuadratnya.
3. Tekan tombol "".
Perhatikan contoh berikut ini:
Tentukanlah = ... .

Penyelesaian:
Tekan tombol-tombol di atas secara berurutan dari kiri ke kanan, maka pada layar akan ke luar
atau tertulis 115. Jadi = 115.

 A. PANGKAT TIGA DAN AKAR PANGKAT TIGA SUATU BILANGAN BULAT

1. Pangkat Tiga

---

Pangkat tiga suatu bilangan bulat adalah suatu bilangan yang diperoleh dari hasil perkalian
bilangan bulat tersebut dengan dirinya sendiri sebanyak tiga kali.


2. Akar Pangkat Tiga suatu Bilangan Bulat

---

Perhatikan bilangan pangkat tiga berikut ini:

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa akar pangkat tiga dari suatu bilangan bulat
merupakan kebalikan dari perpangkatan tiga dari bilangan bulat tersebut.


3. Menentukan Akar Pangkat Tiga dari suatu Bilangan Bulat

---

Untuk menentukan hasil akar pangkat tiga dari suatu bilangan bulat dapat dikerjakan dengan
menghitung langsung atau menggunakan kalkulator.
a. Dengan Cara Menghitung
Perhatikanlah satuan hasil perpangkatan 3 dari bilangan 0 sampai 9 di bawah ini:

Perhatikanlah contoh-contoh berikut:
= ...
Satuan dari bilangan 1728 adalah 8.
8 adalah satuan dari 2², maka satuan dari  adalah 2. Untuk mengetahui puluhannya,
perhatikanlah bilangan setelah 3 angka dari belakang, yaitu 1, kemudian carilah bilangan
yang jika dipangkatkan dengan tiga hasilnya ≤ 1 dan bilangan itu adalah 1, karena 13 = 1.
Jadi, puluhan dari  adalah 1. Jadi,  = 12.

Contoh 
Hitunglah nilai akar dari
Penyelesaian:
Satuan dari bilangan 2197 adalah 7 dan 7 adalah satuan dari 3³, jadi satuan dari  adalah
3. Puluhannya dicari dari bilangan 2 (setelah 3 angka dari belakang) jika dipangkatkan dengan
3 hasilnya ≤ 2, yaitu bilangan 1, maka puluhan dari  adalah 1.
Jadi,
 = 13

b. Dengan Menggunakan Kalkulator
Langkah-langkahnya:
1. hidupkan kalkulator Anda dengan menekan tombol ON atau AC,
2. tekan tombol bilangan yang akan dicari,
3. tekan tombol SHIFT atau 2ndF, dan
4. tekan tombol " "

Contoh
Dengan menggunakan kalkulator tentukan hasil dari .
Penyelesaian:
Untuk menentukan nilai dari  , tekanlah tombol di bawah ini secara berurutan dari kiri ke
kanan.

setelah itu akan keluar pada layar 6.
Jadi,  = 6

 Ringkasan

 Glosarium

 Daftar Simbol

NB :
Materi ini diperuntukan untuk saya pribadai, yang bertujuan sebagai pengulangan dan pengingat kembali materi matematika SD. Lebih tepatnya artikel ini hanyalah cacatan pribadi penulis, yang dipilih dari point-point penting saja.

Untuk pembahasa detail teman-teman bisa mendonwload langsung e-book-nya di bukusekolahdigital.com

 Sumber

Manik, Dame Rosida. 2009. Matematika : Untuk SMP dan MTs Kelas 7. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Sabaroh, dkk. 2009. Matematika 4: Untuk SD/MI kelas IV. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Sugiyono dan Dedi Gunarto. 2008. Matematika : SD/MI Kelas V. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Daftar Isi - Matematika SD/SMP/SMA