Prak-13: Implementasi Transformasi Laplace

Imam Ibnu Badri Komputasi Teknik 09.00

Kompetensi dasar dan indikator

1 Kompetensi Dasar

Setelah mengikuti praktikum ini, mahasiswa mampu:
memahami dan menganalisis implementasi Transformasi laplace

2 Indikator

1 Mahasiswa mampu memahami dan menganalisis implementasi Transformasi Laplace.

Mahasiswa berhasil menganalisis implementasi Transfonnasi Laplace untuk mencari solusi fungsi alih sistem pada refrigerator.
Mahasiswa berhasil membuat source code untuk implementasi Transformasi Laplace.

Dasar Teori

Pada bab ini akan dibahas implementasi transfonnasi laplace dan mahasiswa diminta mempelajari dengan seksama uraian lengkap tentang implementasi transformasi laplace yang diangkat dari jumal yang berjudul " Aplikasi Transformasi Laplace Untuk Solusi Fungsi Alih Sistem Pada Refrigerator "

Panas dan termal adalah dua istilah yang dapat digunakan 'saling tukar', walaupun ada hal prinsip yang membedakan keduanya (Holman, 1981).

Kondisi saling-tukar itu digunakan pula dalam artikel ini. Selain itu, hendaknya dibedakan antara panas dan suhu, yaitu panas adalah besaran energi (satuannya Joule) sedangkan suhu merupakan besaran yang menunjukkan derajat atau tinggi rendahnya kondisi termal (satuannya derajat Celsius).

Refrigerator adalah mesin yang memanfaatkan konsep pengaliran termal (Sumanto, 1989). Dengan mengisikan pot roast dalam refrigerator berarti telah terjadi gangguan kesetimbangan termal di dalam refrigerator. Secara garis besar, sebuah refrigerator dapat dipilah menjadi tiga titik bersuhu berbeda, yaitu ruang dengan suhu sangat rendah yang umum disebut freezer, ruang dengan suhu agak lebih 'panas ' dibandingkan freezer disebut ruang refrigerator, dan pot roast adalah tempat menaruh benda yang hendak didinginkan.

Benda pot roast asal-muasalnya dari luar dan bersuhu 'tinggi ' sehingga keberadaannya di dalam refrigerator diduga mengganggu kestabilan setting suhu yang ada di freezer maupun di ruang refrigerator.

Artikel membahas solusi fungsi alih sistem perubahan kesetimbangan suhu dalam freezer maupun ruang refrigerator, dengan metode transformasi Laplace serta diberikan contoh aplikasinya.

Sistem Termal Pada Refrigerator
Dipandang dari dinamika sistem maka sistem termal adalah sistem yang menyajikan persamaan diferensial yang merelasikan perpindahan panas dari satu lokasi ke lokasi lainnya di dalam sistem. Contohnya adalah sebuah refrigerator (kulkas). Refrigerator beroperasi dengan memindahkan panas dari bagian-dalam dan mengalirkannya keluar lewat sistem koil menggunakan pompa kompresor dan katup ekspansi (lihat Gambar 1).

Refrigerator umumnya terbangun atas dua bagian terpisah - saling terisoliris: bagian utama refrigerator dan bagian pendingin (freezer). Bagian itu didinginkan oleh 5 komponen sistem refrigerator: kompresor, koil penukar panas yang ada di luar, katup ekspansi, koil penukar panas yang ada di dalam, dan refrigeran.

Kompresor mengompres refrigeran ke dalam koil yang ada di luar. Disini panas yang dihasilkan dari kompresi menyebar ke sekeliling. Dari koil yang ada di luar refrigerant disemprotkan lewat katup ekspansi yang menjadikan refrigerant sangat dingin (super-cool), ke dalam koil yang ada di dalam di bagian pendingin (freezer).

Lalu refrigerant disirkulasi balik ke kompresor. Untuk mendinginkan refrigetor menyeluruh, sebuah kipas menghembuskan udara dari bagian pendingin (freezer) melalui ventilasi yang dapat diatur masuk ke dalam bagian refrigerator.

Suhu bagian refrigerator dikendalikan oleh thermostat yang dapat diatur sehingga meregulasi aktivitas kompresor. Suhu dalam freezer dikendalikan oleh udara yang lewat ventilasi yang dapat diatur antara freezer dan bagian refrigerator.

Gambar 13.1.Komponen Utama Pemindah Panas dalam Refrigerator
Atas : tampak sisi dan perbesaran bagiannya
Bawah : tampak belakang dan perbesaran bagiannya

Pada sistem m1, ventilasi mengontrol rasio suhu freezer dengan refrigerator. Saat vent tertutup, banyak udara dingin dalam freezer menurunkan rasio suhu. Ketika vent terbuka lebar, udara mengalir ke dalam refrigerator mengurangi selisih suhu antara kedua bagian ini.

Thermostat akan berusaha memindahkan panas sehingga mengeset suhu refrigerator ke nilai setting yang diinginkan. Dalam contoh ini akan dipertimbangkan refrigerator yang pot roast panas baru saja ditaruh.

Panas dari pot roast ini bertindak sebagai pengganggu pada sistem termal. Keluaran yang dikontrol adalah suhu pada bagian refrigerator. Akan ada 3 persamaan diferensial untuk sistem ini, pertama mengontrol dinamika bagian refrigerasi, kedua mengontrol dinamika termal pada bagian freezer, dan ketiga mengontrol dinamika pertukaran panas pada koil-luar.

Diagram Benda Bebas
Diagram benda-bebas merepresentasikan interaksi antara pot roast, ruang, dan sekitar (situs: http://www.me.cmu.edu). Perpindahan panas terjadi secara konduksi dan konveksi. Perpindahan panas lewat dinding refrigerator

terjadi secara konduksi. Konveksi antara refrigerator dan bagian freezer dicapai dengan aliran udara dua-arah lewat vent diantara dua ruang. Beberapa variabel variabel penting dan persamaan yang berhubungan adalah sebagai berikut.

Variabel dibedakan oleh subscript, misalnya Qr2f_v untuk mengindikasikan variabel yang merepresentasikan perpindahan termal dari bagian refrigerator "r" ke bagian freezer "f ' dengan cara pemindahan konveksi "v". Hal yang serupa, Rc2f adalah tahanan termal saat pemindahan termal dari koil "c" ke bagian freezer "f". Akhirnya, Cr untuk merepresentasika kapasitansi pada bagian refrigator
r=bagian refrigerator
f=bagian freezer
p=pot roast
c=koil
e=sekitar/sekeliling
2=menuju ke
d=secara konduksi
v=secara konveksi

Freezer
Ekspresi matematik perpindahan panas pada ruang freezer dalam tulisan, dapat ditunjukan sebagai berikut.

Gambaran pertukaran panas diagram tersebut sebagai berikut.

Jumlahan seluruh pertukaran panas pada badan secara bersama-sama dalam persamaan matematis menghasilkan persamaan termal berikut.

Refrigerator
Ekspresi matematik perpindahan panas pada refrigerator, dapat ditunjukan seperti berikut ini .

Penggambaran pertukaran panas dari diagram sebagai berikut.

Jumlah pertukaran panas memberikan persamaan termal berikut.

Pot Roast
Penukaran panas pot roast dijelaskan dengan uraian berikut.

Gambaran penukaran panas sebagai berikut.

Persamaan termal sebagai berikut.

Persamaan Diferensial Ketiga Komponen
Setelah analisis diagram benda-bebas, selanjutnya persamaan diferensial untuk pertukaran panas dari bagian freezer, bagian refrigerator, dan pot roast disatukan kembali, dan hasilnya adalah sebagai berikut.

APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE

Fungsi Alih
Bagian ini memanfaatkan transformasi Laplace (Dawkins, P., 2005) untuk menentukan perubahan suhu dari pot roast, dari bagian refrigerator, dan dari bagian freezer untuk kondisi suhu awal sebagai berikut.

Terdapat satu set suhu yang akan diasumsikan tetap konstan selama siklus refrigerasi, yaitu suhu sekitar dan suhu koil freezer, seperti terlihat berikut ini.

Transformasi Laplace dari Persamaan yang Terbentuk

Sasarannya adalah mendapatkan ekspresi transformasi Laplace dari masing-masing variabel yang merepresentasikan suhu dari pot roast, dari bagian refrigerator dan dari bagian freezer dalam kondisi awalnya. Dari diagram benda-bebas, didapatkan persamaan diferensial dalam domain waktu
sebagai berikut.

Ketiga persamaan tersebut bila dibagi oleh masing-masing kapasitansinya, lalu digabung berdasar koefisien dari masing-masing variabel suhu, didapatkan rumus berikut.

Hubungan antara transformasi Laplace dan turunan variabel adalah sebagai berikut.

Lakukan transformasi Laplace terhadap persamaan dan susun berdasar masing - masing theta besar ( uppercase), dihasilkan rumus berikut.

Langkah berikutnya adalah memanfaatkan aturan Cramer (Kreyszig, 1986) untuk menyelesaikan tiga persamaan simultan. Untuk menjaga organisasi matematika substitusikan koefisien 𝚯f(s), 𝚯r(s), dan 𝚯p(s) menjadi: a₁₁, a₁₂, dan a₁₃ dengan koefisien 𝚯f(s), 𝚯r(s), and 𝚯p(s) pada
persamaan pertama; a₂₁, a₂₂, dan a₂₃ dengan koefisien 𝚯f(s), 𝚯r(s), dan 𝚯p(s) pada persamaan kedua; a₃₁, a₃₂ , dan a₃₃ menjadi koefisien 𝚯f(s), 𝚯r(s), dan 𝚯p(s) pada persamaan ketiga.

Selanjutnya, substitusikan b₁, b₂ dan b₃ ke ruas-kanan dari persamaan pertama, kedua, dan ketiga . Notasi kompak dihasilkan pada set persamaan berikut.

Dalam bentuk matrik sebagai berikut.

Solusinya seperti berikut ini.

Atau :

Set persamaan ini dengan mudah dapat diselesaikan menggunakan MATLAB. Disini dapat diawali dengan pencarian θ dari:

Menggunakan aturan Cramer, masing-masing elemen vektor 𝚯 dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.

Karena a31 dan a13 sama dengan nol maka

Untuk determinanlainnya, dapat dilihat berikut ini

SOLUSI PERSAMAAN LINIER

Untuk penyelesaian persamaan linier simultan, dalam artikel ini diawali dengan perintah s = tf('s'), lalu tentukan konstanta seperti di bawah ini. Selanjutnya, tentukan variabel Laplace a_i dan b_k. Langkah itu harus dilakukan di M-file karena panjangnya kode.

s = tf('s');.
Tf = -9; % derajat_C
Tr = 4; % derajat_C
Tp = 25; % derajat_C
Te = 25; % derajat_C
Tc = -10; % derajat_ C
w = .0001; % m/s
p = 1.2; % kg/m^3
sig = 1000; % kJ*derajat_ C/kg
Cp = 240; % J/derajat_C
Cr = 700; % J/derajat_C
Cf = 200; % J/derajat_C
Rf2c = .1; % derajat_C*s/J
Rp2r = 1; % derajat_C*s/J
Re2r = 4.7; % derajat_C*s/J
Re2f = 6.25; % derajat_C*s/J
Rr2f = 4.5; % derajat_C*s/J
all = (s + (w*p*sig/Cf) + (1/(Cf*Rr2f)) + (1/(Cf*Re2f)) + (1/(Cf*Rf2c)));
al2 = - (w*p*sig/Cf) - (1/(Cf*Rr2f));
al3 = 0;
a21 = - (w*p*sig/Cr) - ( l /(Cr*Rr2f));
a22 = (s + (w*p*sig/Cr) + (1/(Cr*Re2r)) + ( l /(Cr*Rp2r)) + ( l /(Cr*Rr2f)));
a23 = - ( l /(Cr*Rp2r));
a3l = 0;
a32 = -(l /(Cp*Rp2r));
a33 = s + (1/(Cp*Rp2r));
bl = (Te/(s*Cf*Re2f)) + (Tc/(s*Cf*Rf2c)) + Tf;
b2 = (Te/(s*Cr*Re2r)) + Tr;
b3 = Tp;
detA = a1l *(a22*a33-a23*a32)-a21*al2*a33;
detl = bl*(a22*a33-a23*a32)-b2*(a12*a33)+b3*(a12*a23);
det2 = all*(b2*a33-a23*b3)-a21 *(bl *a33);
det3 = all *(a22*b3-a32 *b2)-a21 *(a12*b3-a32*bl);
Thetaf = detl/detA
Thetar = det2/detA
Thetap = det3/detA

Solusinya adalah (dituliskan diantara dua tanda >>) :

Solusinya adalah (dituliskan diantara dua tanda >>) :

>>
Fungsi alih untuk Freezer :
-7.403e008 s^5 - 4.365e007 s^4 - 2.462e005 s^3 - 126 s^2
------------------------------------------------------------
8.225e007 s^6 + 4.844e006 s^5 + 2.779e004 s^4 + 13.98 s^3
Fungsi alih untuk Refrigerator:
3.29e008 s^5 + 2.l 85e007 s^4 + 2.408e005 s^3 + 56.33 s^2
------------------------------------------------------------
8.225e007 s^6 + 4.844e006 s^5 + 2.779e004 s^4 + 13.98 s^3
Fungsi alih untuk Pot roast :
2.056e009 s^5 + l.139e008 s^4 + 3.l12e005 s^3 + 56.33 s^2
------------------------------------------------------------
8.225e007 s"6 + 4.844e006 s"5 + 2.779e004 s"4 + 13.98 s^3
>>

Perhatikan bahwa pada setiap kasus ada faktor umum. Penggunaan perintah minreal() dapat digunakan untuk mengeliminir faktor umum ini. Kode dan hasilnya adalah sebagai berikut.

Thetaf = minreal(Thetaf)
Thetar = minreal(Thetar)
Thetap = minreal(Thetap)
>>
Fungsi alih untuk Freezer :
-9 s^3 - 0.5306 s^2 - 0.002993 s - l .532e-006
------------------------------------------------------------
s^4 + 0.0589 s^3 + 0.0003379 s^2 + l.7e-007 s

Fungsi alih untuk Refrigerator :
4 s^3 + 0.2656 s^2 + 0.002928 s + 6.848e-007
------------------------------------------------------------

s^4 + 0.0589 s^3 + 0.0003379 s^2 + 1.7e-007 s

Fungsi alih untuk Pot roast :
25 s^3 + 1.385 s^2 + 0.003784 s + 6.848e-007
------------------------------------------------------------
>>

Gunakan perintab impulse untuk mem-plot fungsi. Hal itu akan memberikan Laplace invers dari fungsi. Beri label agar segala sesuatunya nampak teratur.

elf
figure(l )
tt = linspace(0,3600,361);
impulse(Tbetaf, Tbetar, Tbetap, tt)
legend(' Freezer temp', 'Refrigerator temp', 'Pot roast temp')
title('Time evolution of refrigerator model')
xlabel('Time (sec)')
ylabel('Temperature (derajat C)')

Hasil

Program yang panjang tersebut bila dieksekusi akan memberikan basil berupa kurva pergerakan subu dari ketiga komponen: refrigerator, freezer, dan pot roast. Adapun basil yang dimaksud seperti ditunjukan pada grafik dalam Gambar 2.

Gambar13.2. Grafik Kurva Pergerakan Suhu Ketiga Komponen Refrigerator, Freezer, dan Pot Roast

Pembahasan
Di bidang rekayasa, sering kali analisis sistem memberikan bentuk model matematis yang terkandung di dalamnya turunan variabel bebas. Persamaan sepert i itu umum dikenal dengan sebutan persamaan diferensial atau lengkapnya persamaan diferensial bi asa (ODE = Ordinary Dfferential Equation).

Mendapatkan solusi sebuah persamaan diferensial dapat dilakukan dengan memanfaatkan transformasi Laplace yang mengubah domain waktu t ke domain s. Keseimbangan termal pada sistem refrigerator telah dianalisis sebelumnya dan memberikan persamaan diferensial untuk tiga komponen refrigerator.

Bentuknya cukup rumit sehingga solusi dalam bentuk fungsi alih serta inversinya telah dilakukan dengan bantuan Matlab yang sekaligus memberikan plot kurva pergerakan suhu ketiga komponen. Analisis kurva menunjukkan adanya kenaikan suhu pada ruang-refrigerator sebagai pengaruh adanya panas dari pot roast.

Akan tetapi, suhu dalam freezer tidak nampak dipengaruhi oleh adanya panas dari pot roast. Hal itu ditunjukkan oleh kurva suhu yang terus mendatar selang waktu 3500 sekon, kecuali sedikit perubahan tak berarti pada selang waktu sekitar antara 200 sekon hingga 1200 sekon.