Prak-14: Implementasi Transformasi Z - TeachMeSoft

Prak-14: Implementasi Transformasi Z



Kompetensi dasar dan indikator


1 Kompetensi Dasar

Setelah mengikuti praktikum ini, mahasiswa mampu:
  • Memahami dan menganalisis implementasi Transformasi Z



2 Indikator

1. Mahasiswa  mampu  memahami  dan  menganalisis  implementasi Transformasi Z.
  • Mahasiswa berhasil menganalisis implementasi Transformasi Z untuk mencari solusi fungsi alih sistem pada refrigerator.
  • Mahasiswa berhasil membuat source code untuk implementasi Transformasi Z.




Dasar Teori


Pada bab ini akan dibahas implementasi Transformasi Z dan mahasiswa diminta mempelajari dengan seksama uraian lengkap tentang implementasi transformasi laplace yang diangkat dari jurnal yang berjudul " Aplikasi Transformasi Z untuk Solusi Fungsi Alih Sistem Pada Refrigerator ".

Algoritma pemrosesan sinyal digital dapat diklasifikasikan sebagai sistem waktu diskrit. Umumnya diimplementasikan pada komputer atau pemrosesan sinyal digital DSP (Digital Signal Processing). Akibat kelebihannya, filter-filter digital sering menggantikan filter-filter analog klasik.

Dengan bantuan perangkat lunak Matlab kita dapat mensimulasikan hasil rancangan filter digital dari prototip filter analog dan menganalisa hasil dari simulasi tersebut. Dalam mendesain sistem-sistem komunikasi, kendali (kontrol), dan telemetri, kita sering harus memperhitungkan pula filter-filter pembentuk spectrum dari berbagai sinyal.

Dikarenakan luasnya pemakaian berbagai komputer digital dan perangkat keras digital untuk tujuan tertentu, maka penyaringan  digital telah menjadi suatu teknik yang sangat penting dalam berbagai penerapan  yang mencakup pemrosesan  sinyal pembicaraan, radar, seismic dan biomedis[2].

Filter
Pengolahan sinyal merupakan suatu operasi matematika untuk mengolah/memproses sinyal menjadi informasi yang berguna (data). Informasi merupakan hasil pengolahan sinyal yang mempunyai daya guna.

Filter memegang peranan penting dalam pengolahan sinyal. Filter adalah suatu rangkaian elektronik yang berfungsi untuk mengolah frekuensi dari suatu sinyal, frekuensi sinyal tersebut akan diloloskan atau diredam, dalam hal ini disesuaikan dengan kebutuhan.

Berdasarkan sifat ini, filter dibedakan menjadi 4 macam, yaitu low pass filter (LPF), high pass filter (HPF), band pass filter(BPF) dan band reject filter (BRF). Dalam DSP (Digital Signal Processing) filter analog berupa filter Butterworth, filter Chebyshev, dan filter Elliptic sebagai dasar dalam merancang filter digital IIR (Infinite Impulse Response) diperlukan fungsi alih filter analog H(s). Dari fungsi alih filter analog ini akan diturunkan fungsi alih filter digital H(z).

Sistem Waktu Diskrit dalam Persamaan Beda (Difference Equation) 
Persamaan beda merupakan bentuk umum dari system diskrit, di mana pada system analog bentuk umum keluaran system dinyatakan dengan persamaan differensial (differential equation). Dengan impuls respons h(n), keluaran  system y(n) untuk  setiap deret input x(n) dapat dituliskan dengan
konvolusi seperti pada Persamaan  14.1 dan 14.2.



Persamaan beda untuk filter dapat ditulis:



Filter Digital
Filter-filter digital biasanya diklasifikasikan sebagai filter tanggapan impuls yang lamanya terbatas(finite duration impulse response=RIF) atau filter tanggapan impuls yang lamanya tak terbatas (infinite duration impulse response=IIR). Filter-filter FIR dicirikan dengan suatu tanggapan impuls­ yang panjangnya terbatas atau secara setara dengan suatu fungsi alih dalam bentuk polinom:



Filter-filter IIR di pihak lain dicirikan oleh fungsi alih dalam bentuk suatu bentuk fungsi rasional atau perbandingan polinom:



Digarnbarkan dengan blok diagram Garnbar 14.1.



Gambar 14.1. Blok Diagram Filter IIR

Transformasi Z
Transformasi z dalam bidang digital signal processing (DSP) atau control digital digunakan sebagai alat untuk memodelkan sistem secara diskrit (digital), sedangkan transformasi Laplace digunakan untuk rnemodelkan system analog. Definisi transformasi z untuk suatu sinyal diskrit h(n) dinyatakan oleh Persamaan 14.5.


Output:


Persamaan keluaran


Filter H(z) dapat ditampilkan sebagai berikut


Secara geometris bidang z merupakan suatu lingkaran. Akar-akamya terletak pada lingkaran, sedangkan pada transformasi Laplace, bidang s merupakan bidang datar. Korelasi bidang z dengan bilangan kompleks dapat dilihat pada Persamaan 14.10.



Dimana : r = jari-jari,  di mana untuk r = 1 dikenal unit cycle.


Hubungan transformasi z dengan bidang frekuensi, dapat dinyatakan oleh Persamaan 14.13.




Inverse Transformasi  Z
Dari definisi transformasi z pada Persamaan 14.6 (untuk mudahnya akan ditulis kembali). Transformasi z dari x(n) :


Untuk memperoleh balik nilai h(n) dilakukan suatu proses balik yang dikenal dengan invers transformasi z, proses ini didefinisikan sebagai berikut : h(n) = z- l {h(z)}.
Secara umum proses balik untuk h(n) dinyatakan oleh Persamaan 14.14



Proses Merancang Filter
Filter digital mengeliminasi sejumlah masalah yang berhubungan dengan filter analog yang akhimya menggantikan posisi filter analog. Filter digital termasuk kelas sistem waktu diskrit LTI (Linear Time Invariant) yang mempunyai karakteristik kausal dan rekursif dan stabil.

Filter digital dapat dikarakterisasi dalam ranah waktu dengan unit respon impuls dan dalarr: ranah transformasi dengan fungsi transfer. Ada beberapa metode yang dapa1 digunakan untuk merancang filter digital IIR, antara lain matched-2 transformation, impulse step invariant, dan transformation bilinier, karena dari ketiga metode ini metode transformasi bilinier memberikan hasil yang lebih teliti, maka metode ini yang dipakai pada perancangan ini.

Transformasi Bilinear
Metode transformasi Bilinear, ekuivalen dengan trapezoidal integration. Pada dasarnya metode ini adalah proses pemetaan frekuensi dari relasi transformasi Laplace ke transformasi Z. Pemetaan ini mempunyai sifat sebagai berikut [4]:

  • Jika H(s) dari transfonnasi Laplace  adalah sistem LTI kausal dan stabil, maka H(z) akan kausal dan stabil
  • Karakteristik dari H(s) adalah sebagai sifat awal dari karakteristik H(z) artinya dalam metode ini diperlukan H(s).

Permasalahan utama pada Transformasi Biliniear adalah perubahan dari frekuensi filter analog ke frekeuensi digital bersifat nonlinier, dimana transformasi dari bidang s yang merupakan bidang datar ke bidang z yang merupakan bidang lingkaran. Hubungan transformasi bilinear dengan transformasi z dapat dilihat pada Persamaan 14.15 dan 14.16.



Sehingga :



Transformasi invers-nya adalah: = , dengan  rad/s sebagai:

symbol frekuensi analog dan



Hubungan antara frekuensi analog dengan frekuensi digital merupakan hubungan yang tidak linier di mana bidang z = ejΩ adalah lingkaran, sedangkan s = j⍵ adalah bidang datar. Untuk itu perlu diadakan koreksi yang dikenal dengan prewarping.



Jika persamaan 16 dibagi dengan j dan fungsi tangensial diterapkan pada bagian sebelah kanan  Persamaan  14.16, maka  akan  diperoleh  Persamaan
14.17 dan 14.18.





Fungsi magnitude kwadrat filter butterworth adalah sebagai berikut:



Orde filter low-pass Butterworth analog dapat dihitung besamya orde (N) dari filter dengan menggunakan persamaan berikut:




METODE PENELITIAN
Perancangan Filter
Perancangan filter LPF ini akan melewatkan bandwidth frekuensi dengan respons frekuensi rata, turun sampai dengan - 3 dB dari 0~1500. Hz. Pada frekuensi 2500 Hz sinyal diredam minimum 10 dB. Filter tersebut dirancang bekerja pada frekuensi sampling 10 kHz dengan sinyal masukan berupa:



Frekeunsi sampling yang digunakan dalam perancangan filter LPF digital adalah fs = 10  kHz, maka perioda sampling adalah, Ts = 10-4 detik. Tanggapan magnitudo filter digital yang dirancang seperti yang diperlihatkan pada Gambar 14.2, sebagai berikut ini.



Gambarl 4.2. Tanggapan Magnitudo Fllter Digital yang Dirancang
Menggunakan Persamaan 14.16 maka didapat
⍵l= 0,3πœ‹rad pada Kl3dB dan
⍵2= 0,5πœ‹rad pada K2 10dB
Menggunakan Persamaan 14.18 maka didapat :



Transformasi temormalisasi kemudian dilakukan, maka Gambar 14.2 dapat dinyatakan sebagai Gambar 14.3 sebagai berikut:



Gambar 14.2. Tanggapan Magnitudo Filter Temormalisasi

Berikutnya menghitung Ω sebagai berikut:



Menggunakan Persamaan 14.21 digunakan untuk smenghitung orde LPF Butterworth sehingga diperoleh orde N sebagai berikut:



Hasil perhitungan, N lebih mendekati ke angka dua maka dilakukan pembulatan ke atas, maka diperoleh nilai N = 2 dan dari tabel polinomial Butterworth diperoleh :



oleh Karena itu untuk LPF Butterworth orde 2 temormalisasi berlaku:



Variabel s/ β„¦ menggantikan variable s maka maka LPF Butterworth analog hasil disain diperoleh:



Transfer function H(z) menggunakan dari Filter Low-Pass digital yang direncanakan diperoleh dengan menggantl variable S dengan , maka diperoleh:



Menggunakan Persamaan 14.10 transfer function H(z) dari Low-Pass Filter digital yang direncanakan dapat dibuat sebagai berikut:

 

Menggunakan Persamaan 14.2 persamaan beda Low- Pass Filter digital yang direncanakan dapat dibuat menjadi sebagai berikut :



Nilai koefisien dari persamaan ini, akan menjadi parameter input dalam program simulasi yang akan dilakukan.

Implementasi dalam Pemrograman Matlab
Simulasi ini menampilan  sinyal masukan dan sinyal keluaran setelah penerapan filter LPF dalam domain waktu. Program dibuat ada tiga bagian proses yaitu proses sinyal masukan proses pemfilteran dengan LPF, kemudian hasil proses pemfilteran berupa sinyalkeluaran. Program untuk memproses dan menampilkan sinyal masukan adalah sebagai berikut:
Program pemrosesan sinyal masukan :
x l= sin (2πœ‹ 50 t), dengan f1=50 Hz
x2= sin (2πœ‹ 100 t), dengan f2= 100 Hz
x3= sin (2πœ‹ 2500 t), dengan f3=2500 Hz
x3 anggap sebagai noise dan dapat diubah-ubah nilainya dalam simulasi ini x(t) = sin (2πœ‹ 50 t) + sin (2πœ‹ 100 t) + x3 adalah sebagai berikut:

 % Sinyal masukan
 Fs=10000;    % Sampling Sinyal masukan
 t=(l:300)/Fs;
 x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*2500*t);
 subplot(2,1,1);
 plot(t,x,'k');
 title('Sinyal Masukan')
 xlabel('Waktu, t(detik)')
 ylabel('Level Sinyal, x(t)')
 axis([0 0.02 -2 2])
 grid on


Program untuk memproses pemfilteran menggunakan LPF persamaan beda dengan memasukan koefisien filter y(n) = 0,1311 x(n) + 0,2622 x(n- 1) + 0,1311 x(n-2) +0,7478 y(n-1) - 0,2722 y(n-2) sebagai berikut:

 for n= 1:200;
 if n== l ;
 y(n)= 0.1311*x(n);
 elseif n==2;
 y(n)=0.1311*x(n) + 0.2622*x(n-1)+ 0.7478*y(n-1);

 elseif n>=3;
 y(n)= 0.1311 *x(n)+ 0.2622 *x(n-1)+ 0.1311*x(n-2)+ 0.7478 *y(n-1)- 0.2722 *y(n-2);
end
end


Program untuk memproses dan menampilkan sinyal keluaran adalah sebagai berikut:

 subplot(2,1,2);
 plot(t(1:200),y(1:200),'k');
 title('Sinyal Keluaran')
 xlabel('Waktu, t(detik)')
 ylabel('Level Sinyal, y(t)')
 axis([0 0.02 -1.5 1.5])
 grid on


HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil dari eksekusi program matlab diatas sebagai berikut:



Gambar 14.3. Grafik Sinyal masukan dan grafik sinyal keluaran LPF dengan sinyal noise f3=2000 Hz

Dengan cara yang sama dengan dengan memasukkan sinyal noise f3= 2500, 3000, 3500, 4000, dan 4500 Hz, diperoleh grafik sebagai berikut:



Gambar 14.5. Grafik Sinyal masukan dan grafik sinyal keluaran LPF dengan sinyal noise f3=2500 Hz




Gambar 14.6. Grafik Sinyal masukan dan grafik sinyal keluaran LPF dengan sinyal noise f3=3000 Hz



Gambar 14.7. Grafik Sinyal masukan dan grafik sinyal keluaran LPF dengan sinyal noise f3=3500 Hz



Gambar 14.8. Grafik Sinyal masukan dan grafik sinyal keluaran LPF dengan sinyal noise f3=4000 Hz



Gambar 14. 9 Grafik Sinyal masukan dan grafik sinyal keluaran LPF dengan sinyal noise D=4500 Hz


Simulasi sinyal x(t) = sin (2πœ‹ 50 t) + sin (2πœ‹ 100 t) + x3 dengan asumsi sin (2πœ‹ 50 t) + sin (2πœ‹ 100 t) sebagai sinyal masukan tanpa noise dan x3 diasumsikan sebagai noise dalam simulasi ini nilaidiubah-ubah. Gambar 4 dan 5 memperlihatkan masih sangat ber-noise dengan jelas terlihatnya ripple pada sinyal keluaran. Gambar 6, 7 dan 8 memperlihatkan noise berkurang dengan menyusutnya ripple pada sinyal keluaran. Gambar 9 memperlihatkan sinyal keluaran tidak mengandung ripple sehingga sinyal keluaran ini terbebas dari noise dari hasil penerapan filter LPF yang dirancang. Dengan demikian filter ini dapat menghilangkan noise terbaik frekeunsi 4500 Hz keatas. Sedangkan gambar 4, 5, 6, 7 dan 8 masih adanya pengaruh noise walaupun berkurang dengan menaiknya frekuensi noise yang diberikan tetapi filter LPF yang dirancang dapat menjalankan fungsi untuk mengeliminasi noise dengan berkurangnya ripple yang terjadi dengan makin naiknya frekuensi noise yang diberikan.


KESIMPULAN

  1. Filter LPF digital yang dirancang dapat menyanng frekuensi yang diinginkan dan mengeliminasi noise yang tidak diinginkan dengan indikasi pengurangan ripple dengan penaikan frekuensi noise yang diberikan.
  2. Frekuensi noise yang yang dapat dielerninasi dengan baik 4500 Hz ke atas
  3. Frekuensi dibawah 4500 sarnpai dengan 2000 Hz noise rneningkat dengan indikasi bertarnbahnya  ripple



Langkah Praktikum






Latihan


1.   Buatlah source  code  irnplernentasi  Transformasi  Laplace tertentu  yang anda tentuka n sendiri!






Jawab















NB :
Download laporan di Halaman Daftar Isi





Disqus comments