Prak-5: Aljabar Bilangan Kompleks di MATLAB

Imam Ibnu Badri Komputasi Teknik 08.33

Kompetensi dasar dan indikator

1 Kompetensi Dasar

Setelah mengikuti praktikum ini, mahasiswa mampu:

Memahami dan mengoperasikan bilangan kompleks dalam Matlab.
Menganalisis persamaan matematis operasi aritmatika, pangkat dan akar dari bilangan kompleks menggunakan Matlab.

2 Indikator

1 Mahasiswa mampu memahami dan mengoperasikan bilangan kompleks dalam Matlab

Mahasiswa berhasil mengoperasikan bilangan kompleks dalam Matlab.

2 Mahasiswa mampu menganalisis persamaan matematis operasi aritmatika, pangkat dan akar dari bilangan kompleks menggunakan Matlab

Mahasiswa berhasil menganalisis persamaan matematis operasi aritmatika, pangkat dan akar dari bilangan kompleks menggunakan Matlab.

Dasar Teori

Sebuah bilangan kompleks (a, b) atau a + jb bisa direpresentasikan secara grafis (gambar) dengan titik yang memiliki koordinat Cartesian (a, b) pada complex plane (Garnbar 5.1). Sebuah bilangan kompleks z dapat dituliskan z = a + jb, dengan :

Re z = a (Bagian riil dari z adalah a)
Im z = b (Bagian imajiner dari z adalah a)

Bilangan kompleks juga dapat ditulis dalam bentuk koordinat polar. Jika (r,θ) merupakan koordinat polar dari z = a + jb (lihat Gambar 6.1). Maka dapat dinyatakan bahwa:

a = r cos θ
b = r sin θ

dan z = a + jb = r cos θ + jr sin θ = r (cos θ + j sin θ)

Gambar 5.1 Bilangan Kompleks

Catatan: Pada Gambar 5.1, z * merupakan konjugasi dari bilangan kompleks z. Persamaan Euler (Euler Formula) dapat ditulis sebagai :

Bilangan kompleks dapat ditulis dalam Matlab dengan mengetikkan variabel bilangan kompleks pada Command Window. Misalnya, bilangan kompleks z dapat diketik sebagai berikut:

z=2+j*3

Operasi bilangan kompleks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dua buah atau lebih bilangan kompleks dapat dilakukan dengan mendeklarasikan bilangan kompleks kemudian

z1=3+j*4; % Bilangan kompleks z1
z2=2+j*3; % Bilangan kompels z2
z1z2=z1*z2; % Perkalian bilangan kompleks z1 dan z2
z1divz2=z1/z2; % Pembagian bilangan komples z1 dan z2
disp(['z1*z2=',num2str(z1z2),';z1/z2=',num2str(z1divz2)]); % Menampilkan hasil perkaian dan pembagian z1 dan z2

menggunakan operator (+,-,*, dan /) untuk melakukan operasi yang diinginkan. Berikut adalah contoh operasi perkalian dan pembagian dua buah bilangan kompleks zl dan z2 pada Command Window.

Untuk mengkonversi bentuk bilangan kompleks dari bentuk Cartesian ke dalam bentuk Polar dapat dilakukan dengan mengetikkan fungsi "cart2pol (a, b)" dimana a merupakan bagian riil dan b merupakan bilangan imajiner dari bilangan kompleks. Cermati contoh program berikut.

[z_rad, z_mag]=cart2pol(2,3);
z_deg=z_rad*(180/pi);
disp(['z_mag=',num2str(z_mag),';z_rad=',num2str(z_rad),';z_deg=',num2str(z_deg)]);

Listing program di atas merupakan program untuk mengubah bilangan kompleks z = 2 + j3 dari bentuk Cartesian menjadi bentuk Polar.

Pada baris pertama, perintah [z_rad, z_mag] = cart2pol(2, 3) menghitung nilai sudut (radian) dan magnitude dari z yang merupakan nilai Polar dari bentuk z =2 +j3. Perintah z_deg = z_rad* (180/pi) pada baris kedua berfungsi untuk menghitung nilai sudut z dalam derajat.

Perintah pada baris ke-3 dan ke-4 merupakan perintah untuk menampilkan hasil perhitungan nilai magnitude dan sudut (baik dalam radian maupun derajat).

Konversi bentuk bilangan kompleks dari bentuk Polar ke dalam bentuk Cartesian dapat dilakukan dengan mengetikkan fungsi "pol2cart(a, b)" , dengan a merupakan bagian riil dan b merupakan bilangan imajiner dari bilangan kompleks.

[z_real, z_imag]=pol2cart(-3*pi/4,4); %360 derajat
disp(['z_real=',num2str(z_real),';z_imag=',num2str(z_imag)]);

Latihan

1. Tuliskan perintah untuk membuat bilangan kompleks a = √2 - 2j
2. Tuliskan perintah untuk membuat bilangan kompleks b = √3 + 2j
3. Lakukan penjumlahan bilangan kompleks a dan b dengan menuliskan perintah a + b
4. Lakukan pengurangan bilangan kompleks a dan b dengan menuliskan perintah a - b

a=sqrt(2)-2j;
b=-sqrt(3)+2j;

hasil_jumlah= a+b

hasil_kurang=a-b

hasil_kali=a*b

5. Lakukan perkalian bilangan kompleks a dan b dengan menuliskan perintah a * b

Latihan

1. Untuk bilangan kompleks zl = √2 +j√2 dan z2 = 4 +j4√3, hitunglah nilai berikut.
a. 2z1 - z2
b. 1/z1
c. z1/z2²

d. (z1*z2)/z1²

>> A = [1 2 3;4,5,6]

[z_rad, z_mag]= cart2pol(4,4);
z_deg=z_rad*(180/pi); %nilai sudut
disp(['z_mag=',num2str(z_mag),';z_rad=',num2str(z_rad),';z_deg=',num2str(z_deg)]);

[z_rad, z_mag]= cart2pol(2,-2*sqrt(2));
z_deg=z_rad*(180/pi); %nilai sudut
disp(['z_mag=',num2str(z_mag),';z_rad=',num2str(z_rad),';z_deg=',num2str(z_deg)]);

[z_rad, z_mag]= cart2pol(-5,-7*sqrt(3));
z_deg=z_rad*(180/pi); %nilai sudut
disp(['z_mag=',num2str(z_mag),';z_rad=',num2str(z_rad),';z_deg=',num2str(z_deg)]);

[z_rad, z_mag]= cart2pol(-2,2*sqrt(2));
z_deg=z_rad*(180/pi); %nilai sudut
disp(['z_mag=',num2str(z_mag),';z_rad=',num2str(z_rad),';z_deg=',num2str(z_deg)]);

2. Ubahlah bentuk bilangan kompleks berikut (dalam bentuk Cartesian) menjadi bentuk Polar
a. zl = 4 + j4
b. z2 = 2 - j2√2
c. z3 = -5 - j7√3
d. z4 = -2 + j2√2

3. Ubahlah bentuk bilangan kompleks berikut (dalam bentuk Polar) menjadi bentuk Cartesian
a. zl = 4∠40°
b. z2 = 6∠110°
c. z3 = 2∠45°
d. z4 = 3∠60°

[z_real, z_imag]=pol2cart(2*pi/9,4); %360 derajat
disp(['z_real=',num2str(z_real),';z_imag=',num2str(z_imag)]);

[z_real, z_imag]=pol2cart(-3*pi/4,4); %360 derajat disi
disp(['z_real=',num2str(z_real),';z_imag=',num2str(z_imag)]);

[z_real, z_imag]=pol2cart(2*pi/8,2); %360 derajat
disp(['z_real=',num2str(z_real),';z_imag=',num2str(z_imag)]);

% 40 derajat
[z_real, z_imag]=pol2cart(0.70,4);
disp(['z_real=',num2str(z_real),';z_imag=',num2str(z_imag)]);

%110 derajat
[z_real, z_imag]=pol2cart(1.920,6);
disp(['z_real=',num2str(z_real),';z_imag=',num2str(z_imag)]);

%45 derajat
[z_real, z_imag]=pol2cart(pi/4,2);
disp(['z_real=',num2str(z_real),';z_imag=',num2str(z_imag)]);

%60 derajat
[z_real, z_imag]=pol2cart(pi/3,3);
disp(['z_real=',num2str(z_real),';z_imag=',num2str(z_imag)]);

z1=sqrt(2)+j*sqrt(2);
z2=4+j*4*sqrt(3);
a=2*z1-z2
b=1/z1
c=z1/z2^2
d=(z1*z2)/z1^2